ここで条件を変えて、間隔が2ｄの開口を考える。
また、のちの計算のため振幅の大きさを開口に反比例させて、開口の大きさによらず強度が一定の値をとるように工夫する。
$$u(X,t)=\frac{a}{2d}cos 2\pi\left\{\frac{X}{\lambda}-\frac{t}{T}\right\}$$
\(t=0\)
\(k=\frac{2\pi}{\lambda}\)
\(X=\sqrt{L^2+\left(Y-D\right)^2}\)
さらに \(-d\) から \(d\) まで積分すると
$$\displaystyle\int_{-d}^{d}u(X)dD=\displaystyle\int_{-d}^{d}\frac{a}{2d} cos k\sqrt{L^2+\left(Y-D\right)^2} dD$$
テーラー展開の近似式より
\(\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{1}{2}x\)
$$\begin{align}\displaystyle\int_{-d}^{d}u(X)dD&=\displaystyle\int_{-d}^{d}\frac{a}{2d} cos kL\left\{1+\frac{1}{2}\frac{(Y-D)^2}{L^2}\right\} dD \\&=\frac{a}{2d}\displaystyle\int_{-d}^{d} cos k\left\{L+\frac{1}{2}\frac{Y^2}{L}-\frac{YD}{L}+\frac{1}{2}\frac{D^2}{L}\right\} dD\end{align}$$
ここで、かなりおおざっぱな近似を行う。
前ページのヤングの条件式が成り立つスケール以外、すべて無視する。
$$\begin{align}\displaystyle\int_{-d}^{d}u(D)dD&=\frac{a}{2d}\displaystyle\int_{-d}^{d} cos k\left\{-\frac{YD}{L}\right\} dD\\&=\frac{a}{2d}\left[sin \left\{-\frac{kYD}{L}\right\}\frac{1}{-\frac{kY}{L}}\right]^{d}_{-d} \\&=\frac{a}{2d}\left[\left\{\frac{sin\left\{-\frac{kYd}{L}\right\}}{-\frac{kY}{L}}\right\}-\left\{\frac{sin\left\{-\frac{kY(-d)}{L}\right\}}{-\frac{kY}{L}}\right\}\right] \\&=\frac{a}{2d}\left[\left\{\frac{-sin\left(\frac{kYd}{L}\right)}{-\frac{kY}{L}}\right\}-\left\{\frac{sin\left(\frac{kY(d)}{L}\right)}{-\frac{kY}{L}}\right\}\right] \\&=\frac{a}{2d}\left[\frac{2 sin\left(\frac{kYd}{L}\right)}{\left(\frac{kY}{L}\right)}\right] \\&=a \left\{\frac{sin\left(\frac{kYd}{L}\right)}{\left(\frac{kYd}{L}\right)}\right\}\end{align}$$
さて、\(\frac{sin\alpha}{\alpha}\) のかたちが出てきた。
これはグラフ化するとこうなる。
2乗して強度分布をとるとこう。
これはエアリーディスクの分布そのものである。
これで、単純開口の像の分布は計算できることが分かった。しかしムチャな近似を行っているし、数学的にはツッコミどころ満載だ。
もう少しスマートに計算するために複素数を導入してみる。