より正確にあらわすため、波の式を複素数表示する。オイラーの式を導入。
$$e^{i\theta}=cos\theta +i sin\theta$$
$$u(x,t)=A cos(\kappa x-\omega t) +i A sin(\kappa x-\omega t)=A exp(i\kappa x-i\omega t)$$
電場の振幅の式に、かってに虚数項 \(i sin\theta\) をたしているわけだが、これは磁場だとでも思えばいい。（これで電磁波をあますことなく表せた）
前ページと同じように \(-d\) から \(d\) まで積分してみる。
$$\displaystyle\int_{-d}^{d}u(X)dD=\displaystyle\int_{-d}^{d}A exp(ikX)dD$$
\(X=\sqrt{L^2+(Y-D)^2}\)
同じようにテーラー展開して
\(X \approx L\left\{1+\frac{1}{2}\frac{(Y-D)^2}{L^2}\right\}\)
$$\begin{align}\displaystyle\int_{-d}^{d}u(X)dD&=\displaystyle\int_{-d}^{d}A exp\left\{ik\left(L+\frac{1}{2}\frac{(Y-D)^2}{L}\right)\right\}dD\\&=\displaystyle\int_{-d}^{d}A exp\left\{ik\left(L+\frac{1}{2}\frac{Y^2}{L}-\frac{YD}{L}+\frac{1}{2}\frac{D^2}{L}\right)\right\}dD\end{align}$$
変数Ｄに関係ない式を前に出して、
$$\begin{align}&=A exp\left\{ik\left(L+\frac{1}{2}\frac{Y^2}{L}\right)\right\}\displaystyle\int_{-d}^{d} exp\left\{ik\left(-\frac{YD}{L}+\frac{1}{2}\frac{D^2}{L}\right)\right\}dD\end{align}$$
ここで、D面上のdはＬに対して十分に小さいので、\(L \gg D \) として \( \frac{D^2}{L} \approx 0 \) とすると
$$\begin{align}&=A exp\left\{ik\left(L+\frac{1}{2}\frac{Y^2}{L}+0\right)\right\}\displaystyle\int_{-d}^{d} exp\left\{ik\left(-\frac{YD}{L}\right)\right\}dD\\&=A exp\left\{ik\left(L+\frac{1}{2}\frac{Y^2}{L}+0\right)\right\}\left[\frac{exp\left(-ik\frac{YD}{L}\right)}{\left(-ik\frac{Y}{L}\right)}\right]_{-d}^{d}\\&=A exp\left\{ik\left(L+\frac{1}{2}\frac{Y^2}{L}+0\right)\right\}\left[\left\{\frac{exp\left(-ik\frac{Yd}{L}\right)}{\left(-ik\frac{Y}{L}\right)}\right\}-\left\{\frac{exp\left(-ik\frac{Y(-d)}{L}\right)}{\left(-ik\frac{Y}{L}\right)}\right\} \right]\\&=A exp\left\{ik\left(L+\frac{1}{2}\frac{Y^2}{L}+0\right)\right\}\left[\left\{\frac{exp\left(ik\frac{Yd}{L}\right)}{\left(ik\frac{Y}{L}\right)}\right\}-\left\{\frac{exp\left(-ik\frac{Yd}{L}\right)}{\left(ik\frac{Y}{L}\right)}\right\}\right]\end{align}$$
ここで、\(sin\theta =\frac{e^{i\theta} -e^{-i\theta}}{2i}\) より
$$\begin{align}&=A exp\left\{ik\left(L+\frac{1}{2}\frac{Y^2}{L}+0\right)\right\}\left\{\frac{2i sin\left(k\frac{Yd}{L}\right)}{ik\frac{Y}{L}}\right\}\\&=A exp\left\{ik\left(L+\frac{1}{2}\frac{Y^2}{L}+0\right)\right\}2d\left\{\frac{sin\left(k\frac{Yd}{L}\right)}{k\frac{Yd}{L}}\right\}\end{align}$$
さて、ここでも出てきた \(\frac{sin\theta}{\theta}\) の式は、Y面上において
のかたちをとる。
これで、単純開口の投影像の分布が、複素数でも表せた。
ところで、
ちょっと前の式
$$= \mathbf{A}\displaystyle\int_{-d}^{d} exp\left\{ik\left(-\frac{YD}{L}\right)\right\}dD$$
について、フーリエ変換の定義式
$$F(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$
と比較すると、そのままの形であてはめることができる。
\(t \Rightarrow D\) \(\omega \Rightarrow \left(k \frac{Y}{L} \right) \)
として
\(f(t)=1\) ( -d ≦ t ≦d )
のときに相当する。
たとえば音波をフーリエ変換する場合、時間 t の波のかたちを変換して 振動数 ω の成分が計算できるわけだが、これが D面上の空間分布を変換して Ｙ面上の振幅の分布が計算できることに対応する。直感的にはなかなか理解しづらい。しかし計算式は合っている。まぁ、近似に近似をかさねて出てきた式なので数学的な厳密性には欠けるが、現実世界に適用できる物理数学ならこんなもんだろう。
まだ知りたいことを計算できていない。次回から高速フーリエ変換と逆変換を導入する。