単純開口の投影像が、フーリエ変換で計算できることを示した。

 例をあげると、、丸や四角だとこうなる。

 図9.png \( \Rightarrow \) zu2 .png

   図10.png\( \Rightarrow \)図3.png

 

 では、これが複雑開口になるとどうなるか? たとえば

 「あ」

 とか、、

 

 こうなるともう連続した微分できる式としては表せない。

 しかたないので下図のようにドットマトリックスで表現する。

 図11.png\( \Rightarrow \) 図12.png

 これを極小の開口と考えて、フーリエ変換するとどうなるか?

 

 現実には、波長オーダーの複雑な開口を作るのはむずかしい。なので実験して比較することはできないが、以下の工夫をすることで計算はできる。

1、平面のフーリエ変換

2、有限の大きさに分割して(量子化)、級数で計算する

3、高速フーリエ変換の導入

 

 平面のフーリエ変換、というか2次元のフーリエ変換は式で表すとこうなる。

$$F_{(u,v)} = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-i2\pi (xu+yv)} dxdy $$

 JPEGなどの圧縮方法の元になった式だ。

 手順は、まず縦の列を計算し、次に横の列を計算する。量は膨大だが方法は単純でプログラミングしやすい。

 図13.png図13-2.png図13-3.png図13-2.png図12.png

 縦と横はどちらが先でもかまわない。

 

 ドットマトリックスなので、フーリエ変換よりは級数の方が現実に近い。式は煩雑になり計算量は膨大になるが、考え方はたやすくなる。

 具体的にいうと、1ドット計算するのにすべての光路(16×16の場合、256)の位相を計算し、それを光路の数(×256)だけくり返す。

 気が遠くなるような話だ。

 ただ、計算はコンピューターやってもらえばいいから最初の理論だけ把握すればいい。

 

 ドットマトリックスは細かければ細かいほどいい、しかし増やせば増やすほど計算量が増える。さすがにやってられないので高速フーリエ変換を利用する。

 このとき気を付けねばならないのは、マトリックス数は2のn乗に設定してやることだ。(8×8 や 、32×32など)

 

 さて、「あ」をフーリエ変換してみよう。

 図14_あ.png図13-2.png図14_あ解.png

 できた。

 しかしワケが分からない、本当に合っているんだろうか?

 答えの分かっている他ので試してみよう。

図14_丸.png図13-2.png図14_丸解.png

図14_長方形.png図13-2.png図14_長方形解.png

 

 どうやら合っているっぽい。

 上記の「あ」も、ちゃんと波長オーダーの開口を作れば、レーザーを通すとグラフのようなパターンが浮き出てくるのだろう。

 確かめることができないのが残念だ。